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7—- Appliquons, par exemple, au calcul de PMS] : la probabilité que r, exactement des Aj et s exactement des Bic LES PROBABILITES ASSOCIEES A UN SYSTEME D’E’VENEMENTS 52 se réalisent. C’est la probabilité du concours de deux événemegiis‘, dont les probabilités sopt comme on l’a vu p. Aak;; saz=2Pnnlphz Dés lors en vertu de la régle précédente, on aura : n m (118) ‘ _— PM = L 2 (— 1) k + h— r s 2025t lt=rh=‘8 011 SM = E Pr. ; Aal'" -AakB§1-~ BM 1 De méme, on aura pour la probabilité P233 que r au moins _des A; se réalisent ainsi que s au moins des Bk : m (M9) n PM = 2} Z (—1>"+""“SGZ:EGZ:18M k=rh=s CHAPITRE II LES RELATIONS D’INEGALITE L’INEGALITE DE BOOLE Les paw} ne sont pas des probabilités arbitraires.

Inégalités de Bonferroni. Bonferroni a obtenu des inéga— lites intéressantes a partir de la formule (36). On peut l’écrire (2“) P[()] — 1 "1* S1 _ S2 + ' ' ' + ('_‘ “751-4 = (* 1)’[S, — Sr+1 + Sr+2 + ' ' ' + (——1)m-'Sm] et il s’agit de démontrer que le premier membre ment négatif puis positif pour r = 1,2,- - -- On la demonstration par recurrence de Bonferroni tant de prouver directement que le crochet est est alternativepeut simplifier en se conten2 0. 56 LES PROBABILITE’S ASSOCIEES A UN SYSTEME D’EVENEMENTQQ Or d’aprés la formule d’inversion (41), 1e crochet est la quantite m m Ur: 2(~1)t—Tst= 2(—1)t—T;P[t]+ ...

Aj, a lieu et qu’aucun des m —-t autres événements A; *‘ne se réalise. _D,F'JVI+'3NEMENTS; 30 Disons maint‘efiant qu’un= Function symétrique d’événements. événement H est fonction syme’trique des éoe’nements Amlorsque. si, pour une valeur de r, il a lieu, quand a lieu 'B=Aa1"'A ar (E—A O¢r+1 )---(E—A am)’ il a lieu aussi quand a lieu chacun des événements obtenus en: permutant a1 . . am. (Par exemple, « A1 ou A2 ou - - - on Am» est un. ) C’est dire que lorsqu’il‘ a lieu quand se réalisent certains Aal, .

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